Derivadas algebraicas
Definimos la derivada de una función como la pendiente de la recta tangente a la función en un punto dado.
Una función algebraica es aquella cuya variable "Y" se adquiere combinando un número finito de veces la variable "X" y constantes reales a partir de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces.
Entonces, para derivar una función algebraica, tenemos un conjunto de reglas para derivar funciones de acuerdo a su forma y las operaciones algebraicas efectuadas, presentadas a continuación.
(donde "c" es una constante)
La derivada de una constante es 0
d
_
dx
(c) = 0
d
_
dx
(c) = 0
d
_
dx
(x) = 1
(donde "x" es una variable)
La derivada de una variable es 1
d
_
dx
(cv) = cv'
(donde "v" es una variable, y " v' " representa a la derivada de "v")
La derivada de una por una constante, es la derivada de la variable por la constante
d
_
dx
(v ) = n v v'
n
n-1
(donde "n" es un exponente)
La derivada de una variable elevada a un exponente, es el producto del exponente, la variable elevada al exponente-1 y la derivada de la variable
d
_
dx
(u + v - w) = u' + v' - w'
(donde "u", "v" y "w" son variables)
La derivada de una suma o resta de términos es la suma (o resta) de la derivada de cada uno de los términos
d
_
dx
v
( )
c
_
=
( )
_
c
v'
La derivada de una variable entre una constante es la derivada de la variable entre la constante
_
= -
_
v
( )
c
dx
_
d
d
dx
c
( )
v
= -
c
v
( )
2
v'
v'
2
( )
v
c
Derivación de una constante dividida por una función o variable
d
_
dx
(uv) = uv' + u'v
Derivación del producto de funciones o variables
d
_
dx
( )
vu' - uv'
v
2
2
v
_
_
_
_
_
v
u
=
Derivación de la división de funciones o variables
d
_
dx
( )
=
Derivada de la raíz de una variable o función
d
_
dx
( )
=
Derivada de la raíz n-ésima de una variable o función
Ejemplo:
Para derivar esta función, primero ocupamos la regla para derivar una función elevada a un exponente.
Esto nos deja el producto de un término sin derivar (así que lo dejamos así), por la derivada de otro término. Como es una resta, lo derivamos como la derivada de cada uno de los términos en la resta.
En la resta, debemos resolver la derivada de (4x²), que resolvemos como el producto de una derivada por una constante, menos la derivada de (2x), que resolvemos ocupando la misma regla.
Así ocupamos las reglas de derivación algebraica, para desarrollar las derivadas de nuestra función hasta que no queden términos por derivar.